Comutações

O pequeno resgate histórico que fiz sobre notação atuarial me inspirou a pesquisar uma pouco mais sobre os símbolos de comutação, explicar sobre os dois sistemas que já surgiram e trouxeram grandes facilidades para o cálculos de prêmios e provisões de seguros contra morte e de rendas.

Segundo o livro Matemática Atuarial, do atuário, professor da USP, Wilson Vilanova, pioneiro no estudo da ciência atuarial no Brasil, a “simplificação introduzida com o emprego das comutações deve-se a dois estudiosos da matéria”. São eles, George Barrett, inglês que teve seu trabalho divulgado posteriormente por Griffith Davies, e Johannes Nikolaus Tetens, professor alemão. Ambos criaram seus sistemas contemporaneamente, por volta de 1785, uma época em que a comunicação entre dois cientistas de países distintos era difícil.

Os dois sistemas divergem com relação as comutações de sobrevivência de segunda ordem. No modelo de Tetens (que também veio a ficar conhecido como antigo ou inglês), esses números de comutação tem seus somatórios entre a idade seguinte e a idade omega. No modelo de Barrett (colunar, moderno ou americano), o somatório varia entre a idade presente e a idade omega. Para as demais funções não há diferença, mas, por possuirem N_xs diferentes os S_xs das tábuas para cada idade também serão diferentes, no sistema antigo terminando em \omega-1 (já que neste sistema N_{\omega} = 0).

Obviamente, apesar da divergência de modelos, os valores de prêmios serão os mesmos. A diferenciação deve-se na formulação do cálculo de rendas antecipadas e postecipadas. Vejamos um exemplo de como é efetuado em cada modelo o cálculo de uma rendas imediatas vitalícias:

Davies:

\ddot{a}_x=\frac{N_{x-1}}{D_x}; a_x=\frac{N_x}{D_x};

Barret:

\ddot{a}_x=\frac{N_{x}}{D_x}; a_x=\frac{N_{x+1}}{D_x};

Mas o que também é obvio, é que embora Tetens e Barrett tenham inventado as tábuas de comutação, a “descapitalização” dos vivos e mortos em cada idade, já era usada anteriormente há isso, por Dodson e Morgam, por exemplo. O que nos ajuda a comprovar isso é os símbolos utilizados nas comutações, segundo a simbologia atribuída a Barret.

O D (sobrevivência de 1ª ordem) vêm de Denominator, visto sua utilização nos cálculos de renda e seguros contra morte, na parte “de baixo” da divisão. O N (sobrevivência de 2ª ordem), “a parte de cima” vêm de Numerator. O S (sobrevivência de 3ª ordem) vem de Sum, por ser um somatório de N. As funções de morte, são as letras imediatamente anteriores na ordem alfabética: C, M e R. Parece que, pela ordem natural da vida, haveria “mais lógica” na utilização da letras posteriores (E, O, T), mas estas poderiam causar alguma confusão, já que o “e“, tanto maiúsculo quanto minúsculo, e o “T“, já representam-se outras funções.

3 respostas a Comutações

  1. Pois é, mas numa ciência que trabalha com longos períodos de tempo a história ajuda a entender a utilidade e a mecânica dessa utilização. A parte sobre os D, N e M acho um baita dica, da qual pouca gente tem conhecimento

  2. Uma aula de história hein amigo, hehe

  3. Chamo-me Leonido Banze,Trabalho numa companhia de seguros em Moçambique na capital Maputo.

    A companhia Chama-se EMOSE,SA é de capitais nacionais.

    Trabalho na Direcção de Actuariado e Desenvolvimento Como Actuário Júnior á 6 anos.

    Tive muitas formações in-the-job com promovidas por Colin Van der Muller, João Cordovil, e outros actuários portugueses e ingleses.

    Localmente (em Moçambique) existem apenas 3 actuários e a divulgação desta ciência é ainda incipiente.

    Há espaço para que os brasileiros venham promover um Mestrado nesta área

    Agradeço contacto resposta
    Leonido Banze
    leonido.banze@emose.co.mz; leonido.banze9@gmail.com

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